Чему равна производная суммы функций

Производная суммы функций - одно из фундаментальных правил дифференциального исчисления, позволяющее находить производные сложных выражений. Рассмотрим это правило подробно.

Основное правило дифференцирования суммы

Производная суммы двух или более дифференцируемых функций равна сумме их производных:

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Формальное доказательство

Используя определение производной через предел:

1. Рассмотрим функцию h(x) = f(x) + g(x)
2. Найдем предел: h'(x) = lim_Δx→0 [h(x+Δx) - h(x)]/Δx
3. Подставим h(x): = lim_Δx→0 [f(x+Δx)+g(x+Δx) - f(x)-g(x)]/Δx
4. Перегруппируем: = lim_Δx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx + lim_Δx→0 [g(x+Δx)-g(x)]/Δx
5. Получаем: = f'(x) + g'(x)

Обобщение на n функций

Правило распространяется на любое конечное число слагаемых:

(f₁(x) + f₂(x) + ... + f_n(x))' = f'₁(x) + f'₂(x) + ... + f'_n(x)

Примеры вычислений

Дифференцирование суммы с коэффициентами

Правило работает и для линейных комбинаций функций:

(a·f(x) + b·g(x))' = a·f'(x) + b·g'(x)

где a и b - постоянные коэффициенты.

Пример:

• Функция: 3x² - 5cos x
• Производная: 3·2x - 5·(-sin x) = 6x + 5sin x

Геометрическая интерпретация

Сумма функций означает сложение их значений по вертикали. Производная, как угловой коэффициент касательной, также складывается:

• Наклон суммы = сумме наклонов
• Касательная к сумме функций = сумме касательных

Применение в физике

Правило часто используется при анализе сложных движений:

Ограничения и особенности

• Функции должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке
• Для бесконечных сумм (рядов) правило применимо только при равномерной сходимости
• Правило не распространяется на произведение функций

Заключение

Правило дифференцирования суммы функций является одним из основных инструментов математического анализа. Его простота и универсальность позволяют эффективно находить производные сложных выражений, разбивая их на более простые компоненты.